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\chapter{Variables Aleatorias Discretas}

\section{Fundamentos teóricos}
\subsection{Variables Aleatorias}
Se define una \emph{variable aleatoria} asignando a cada resultado del experimento aleatorio un número. Esta asignación
puede realizarse de distintas maneras, obteniéndose de esta forma diferentes variables aleatorias. Así, en el lanzamiento
de dos monedas podemos considerar el número de caras o el número de cruces. En general, si los resultados del experimento
son numéricos, se tomarán dichos números como los valores de la variable, y si los resultados son cualitativos, se hará
corresponder a cada modalidad un número arbitrariamente.

Formalmente, una \emph{variable aleatoria} $X$ es una función real definida sobre los puntos del espacio muestral $E$ de
un experimento aleatorio. \[ X:E\rightarrow \mathbb{R}\]

De esta manera, la distribución de probabilidad del espacio muestral $E$, se transforma en una distribución de
probabilidad para los valores de $X$.

El conjunto formado por todos los valores distintos que puede tomar la variable aleatoria se llama \emph{Rango} o
\emph{Recorrido} de la misma.

Las variables aleatorias pueden ser de dos tipos: discretas o continuas. Una variable es \emph{discreta} cuando sólo
puede tomar valores aislados, mientras que es \emph{continua} si puede tomar todos los valores posibles de un intervalo.

\subsection{Variables Aleatorias Discretas (v.a.d.)}
Se considera una v.a.d. $X$ que puede tomar los valores $x_i$, $i=1,2,...,n$.

\subsubsection{Función de probabilidad}
La \emph{distribución de probabilidad} de $X$ se suele caracterizar mediante una función $f(x)$, conocida como \emph{función de probabilidad}, que asigna a cada valor de la variable su probabilidad. Esto es
\[f(x_i)=P(X=x_i),\ i=1,..,n\]
verificándose que
\[\sum_{i=1}^{n} f(x_i)=1\]

\subsubsection{Función de distribución}
Otra forma equivalente de caracterizar la distribución de probabilidad de $X$ es mediante otra función $F(x)$, llamada \emph{función de distribución}, que asigna a cada $x\in \mathbb{R}$ la probabilidad de que $X$ tome un valor menor o igual que dicho número $x$. Así,

\[
F(x) = P(X \le x) = \sum\limits_{x_i  \le x} {f(x_i)}
\]

Tanto la función de probabilidad como la función de distribución pueden representarse de forma gráfica, tal y como se muestra en la figura \ref{g:graficasvad}.

\begin{figure}[h!]
\centering \subfigure[Función de probabilidad.]{
\scalebox{0.6}{\input{variables_aleatorias_discretas/img/funcion_probabilidad_lanzamiento_2_monedas}}}\qquad
\subfigure[Función de distribución.]{
\scalebox{0.6}{\input{variables_aleatorias_discretas/img/funcion_distribucion_lanzamiento_2_monedas}}}
\caption{Función de probabilidad y función de distribución de la variable aleatoria $X$ que mide el número de caras obtenido en el lanzamiento de dos monedas.} \label{g:graficasvad}
\end{figure}

\subsubsection{Estadísticos poblacionales}
Los parámetros descriptivos más importantes de una v.a.d. $X$ son:
\begin{description}
\item [Media o Esperanza]
\[
E[X]=\mu  = \sum\limits_{i = 1}^n {x_i f(x_i )}
\]

\item [Varianza]
\[
V[X]=\sigma ^2  = \sum\limits_{i = 1}^n {(x_i  - \mu )^2 f(x_i ) = }
\sum\limits_{i = 1}^n {x_i ^2 f(x_i ) - \mu ^2 }
\]

\item [Desviación típica]
\[
D[X]=\sigma  =  + \sqrt {\sigma ^2 }
\]
\end{description}

La media es una medida de tendencia central, mientras que la
varianza y la desviación típica son medidas de dispersión.

Entre las v.a.d. cabe destacar las denominadas \emph{Binomial} y de \emph{Poisson}.

\subsubsection{Variable Binomial}

Se considera un experimento aleatorio en el que puede ocurrir el suceso $A$ o su contrario $\overline{A}$,
con probabilidades $p$ y $1-p$ respectivamente.

Si se realiza el experimento anterior $n$ veces, la v.a.d. $X$ que
recoge el número de veces que ha ocurrido el suceso $A$, se denomina
\emph{Variable Binomial} y se designa por $X\sim B(n,\ p)$.

El recorrido de la variable $X$ es $\{0,1,...,n\}$ y su función de
probabilidad viene dada por
\[
f(x)= \binom{n}{x} p^x  \left( {1 - p} \right)^{n - x}
\]
cuya gráfica se puede apreciar en la figura~\ref{g:binomial}.

\begin{figure}[h!]
\centering
\scalebox{0.8}{\input{variables_aleatorias_discretas/img/funcion_probabilidad_binomial}} 
\caption{Función de probabilidad de una variable aleatoria binomial de 10 repeticiones y probabilidad de éxito 0.5}\label{g:binomial}
\end{figure}

A partir de la expresión anterior se puede demostrar que
\begin{align*}
\mu  &= n p\\
\sigma ^2  &= n p (1 - p)\\
\sigma  &=  + \sqrt {n p (1 - p)}
\end{align*}

En el caso particular de que el experimento se realice una sola vez,
la variable aleatoria recibe el nombre de \variable{Variable de
Bernouilli}. Una variable Binomial $X\sim B(n,\ p)$ se puede
considerar como suma de $n$ variables de Bernouilli idénticas con
distribución $B(1,\ p)$.

\subsubsection{Variable de Poisson}

Las variables de Poisson surgen de la observación de un conjunto discreto de fenómenos puntuales en un soporte continuo de tiempo, longitud o espacio. Por ejemplo: nº de llamadas que llegan a una centralita telefónica en un tiempo establecido, nº de hematíes en un volumen de sangre, etc. Se supone además que en un soporte continuo suficientemente grande, el número medio de fenómenos ocurridos por unidad de soporte considerado, es una constante que designaremos por $\lambda$.

A la v.a.d. $X$, que recoge el número de fenómenos puntuales que ocurren en un intervalo de amplitud establecida, se le denomina \emph{Variable de Poisson} y se designa por $X\sim P(\lambda)$.

El recorrido de la variable $X$ es $\{0,1,2,...\}$, no existiendo un
valor máximo que pueda alcanzar. Su función de probabilidad viene
dada por
\[
f(x) = \frac{{\lambda ^x }}{{x!}}\  e^{ - \lambda }
\]
y su gráfica aparece en la figura~\ref{g:poisson}

\begin{figure}[h!]
\centering
\scalebox{0.8}{\input{variables_aleatorias_discretas/img/funcion_probabilidad_poisson}} 
\caption{Función de probabilidad de una variable aleatoria Poisson de media $\lambda=4$}\label{g:poisson}
\end{figure}

Se puede demostrar que
\begin{align*}
\mu  &= \lambda\\
\sigma ^2  &= \lambda\\
\sigma  &=  + \sqrt {\lambda}
\end{align*}

La distribución de Poisson aparece como límite de la distribución
Binomial cuando el número $n$ de repeticiones del experimento es muy
grande y la probabilidad $p$ de que ocurra el suceso $A$ considerado
es muy pequeña. Por ello, la distribución de Poisson se llama
también \emph{Ley de los Casos Raros}. En la práctica se considera
aceptable realizar los cálculos de probabilidades correspondientes a
una variable $B(n,\ p)$ mediante las fórmulas correspondientes a una
variable $P(\lambda)$ con $\lambda=n p$, siempre que $n\geq 50$
y $p<0.1$.

\clearpage
\newpage

\section{Ejercicios resueltos}
\begin{enumerate}[leftmargin=*]
\opt{largo}{
\item La ley de los grandes números establece que cuando un experimento aleatorio se repite de manera indefinida, la
frecuencia relativa de cada suceso tiende a estabilizarse en torno a un valor que es la probabilidad del suceso. Para
comprobar la ley se realiza un experimento que consiste en lanzar un dado varias veces y anotar la frecuencia relativa
de cada cara. Se pide:
\begin{enumerate}
\item Lanzar el dado 10 veces y calcular las frecuencias relativas de las caras obtenidas y el diagrama de barras
asociado. \begin{indicacion}{
\begin{enumerate}
\item Seleccionar el menú \menu{Distribuciones\flecha Simulaciones\flecha Lanzador de dados}.
\item En el cuadro de diálogo que aparece, introducir 10 en el campo \campo{Número de lanzamientos}, introducir un nombre para el conjunto
de datos y hacer click en el botón aceptar\boton{Aceptar}.
\item Hacer click en el botón del \boton{Conjunto de datos} y en el cuadro de diálogo que aparece seleccionar el conjunto de datos creado y
hacer click en el botón \boton{Aceptar}.
\item Seleccionar el menú \menu{Estadísticos\flecha Distribución de frecuencias\flecha Tabla de frecuencias (datos
numéricos no agrupados)}.
\item En el cuadro de diálogo que aparece, seleccionar la variable \variable{V1} y hacer click en el botón
\boton{Aceptar}.
\item Seleccionar el menú \menu{Gráficas\flecha Gráfica de barras}.
\item En el cuadro de diálogo que aparece seleccionar la variable \variable{V1}, marcar la opción \opcion{Frecuencias
relativas} y hacer click en el botón \boton{Aceptar}.
\item Observar las diferencias entre las frecuencias relativas y en la altura de las barras. 
\end{enumerate}}
\end{indicacion}

\item Repetir el apartado anterior para 100, 1000 y 1000000 lanzamientos. ¿Se cumple la ley de los grandes números?
¿En torno a qué valor se estabilizan las frecuencias relativas?
\end{enumerate}
}

\item Sea $X$ la variable que mide el número de caras obtenidas al lanzar 10 monedas. Para ver de manera experimental
la distribución de probabilidad de $X$ se realiza un experimento aleatorio que consiste en lanzar varias veces las 10
monedas y anotar el número de caras obtenido en cada lanzamiento. Se pide:
\begin{enumerate}
\item Lanzar las 10 monedas 1000 veces y calcular las frecuencias relativas de las caras obtenidas y el diagrama de
barras asociado. 
\begin{indicacion}{
\begin{enumerate}
\item Seleccionar el menú \menu{Distribuciones\flecha Simulaciones\flecha Lanzador de monedas}.
\item En el cuadro de diálogo que aparece, introducir 10 en el campo \campo{Número de monedas}, 1000 en el campo \campo{Número de
lanzamientos}, introducir un nombre para el conjunto de datos y hacer click en el botón aceptar\boton{Aceptar}.
\item Hacer click en el botón del \boton{Conjunto de datos} y en el cuadro de diálogo que aparece seleccionar el conjunto de datos creado y
hacer click en el botón \boton{Aceptar}.
\item Seleccionar el menú \menu{Estadísticos\flecha Distribución de frecuencias\flecha Tabla de frecuencias (datos
numéricos no agrupados)}.
\item En el cuadro de diálogo que aparece, seleccionar la variable \variable{sum} y hacer click en el botón
\boton{Aceptar}.
\item Seleccionar el menú \menu{Gráficas\flecha Gráfica de barras}.
\item En el cuadro de diálogo que aparece seleccionar la variable \variable{sum}, marcar la opción \opcion{Frecuencias
relativas} y hacer click en el botón \boton{Aceptar}.
\end{enumerate}}
\end{indicacion}

\item Generar la distribución de probabilidad de una variable Binomial $B(10\,,\,0.5)$ y compararla con la distribución
de frecuencias relativas del apartado anterior.
\begin{indicacion}{
\begin{enumerate}
\item Seleccionar el menú \menu{Distribuciones\flecha Distribuciones discretas\flecha Distribución binomial \flecha
Probabilidades binomiales}.
\item En el cuadro de diálogo que aparece, introducir 10 en el campo \campo{Ensayos binomiales},
$0.5$ en el campo \campo{Probabilidad de éxito}, y hacer click en el botón \boton{Aceptar}.
\end{enumerate}}
\end{indicacion}

\item Dibujar la gráfica de la función de probabilidad de la Binomial $X\sim B(10\,,\,0.5)$ y compararla con el
diagrama de barras de frecuencias relativas del primer apartado.
\begin{indicacion}{
\begin{enumerate}
\item Seleccionar el menú \menu{Distribuciones\flecha Distribuciones discretas\flecha Distribución binomial \flecha
Gráfica de la distribución binomial}.
\item En el cuadro de diálogo que aparece, introducir 10 en el campo \campo{Ensayos binomiales},
$0.5$ en el campo \campo{Probabilidad de éxito}, marcar la opción \opcion{Gráfica de la función de
probabilidad} y hacer click en el botón \boton{Aceptar}.
\end{enumerate}}
\end{indicacion}

\item Dibujar la gráfica de la función de distribución.
\begin{indicacion}{
\begin{enumerate}
\item Seleccionar el menú \menu{Distribuciones\flecha Distribuciones discretas\flecha Distribución binomial \flecha
Gráfica de la distribución binomial}.
\item En el cuadro de diálogo que aparece, introducir 10 en el campo \campo{Ensayos binomiales},
$0.5$ en el campo \campo{Probabilidad de éxito}, marcar la opción \opcion{Gráfica de la función de
distribución} y hacer click en el botón \boton{Aceptar}.
\end{enumerate}}
\end{indicacion}

\item Calcular $P(X=7)$.
\begin{indicacion}{
Las probabilidades de valores aislados aparecen en la distribución de probabilidad obtenida en el primer apartado.
}
\end{indicacion}

\item Calcular $P(X\leq 4)$.
\begin{indicacion}{
\begin{enumerate}
\item Seleccionar el menú \menu{Distribuciones\flecha Distribuciones discretas\flecha Distribución binomial \flecha
Probabilidades binomiales acumuladas}.
\item En el cuadro de diálogo que aparece, introducir 4 en el campo \campo{Valor(es) de la variable}, 10 en el campo \campo{Ensayos
binomiales}, $0.5$ en el campo \campo{Probabilidad de éxito}, marcar la opción \opcion{Cola izquierda} y hacer click en el botón
\boton{Aceptar}.
\end{enumerate}}
\end{indicacion}


\item Calcular $P(X>5)$.
\begin{indicacion}{
\begin{enumerate}
\item Seleccionar el menú \menu{Distribuciones\flecha Distribuciones discretas\flecha Distribución binomial \flecha
Probabilidades binomiales acumuladas}.
\item En el cuadro de diálogo que aparece, introducir 5 en el campo \campo{Valor(es) de la variable}, 10 en el campo \campo{Ensayos
binomiales}, $0.5$ en el campo \campo{Probabilidad de éxito}, marcar la opción \opcion{Cola derecha} y hacer click en el botón
\boton{Aceptar}.
\end{enumerate}}
\end{indicacion}

\item Calcular $P(2\leq X < 9)$.
\begin{indicacion}{
\begin{enumerate}
\item Seleccionar el menú \menu{Distribuciones\flecha Distribuciones discretas\flecha Distribución binomial \flecha
Probabilidades binomiales acumuladas}.
\item En el cuadro de diálogo que aparece, introducir los valores $1$, $8$ en el campo \campo{Valor(es) de la variable}, 10 en el campo
\campo{Ensayos binomiales}, $0.5$ en el campo \campo{Probabilidad de éxito}, marcar la opción \opcion{Cola izquierda} y hacer click en el
botón \boton{Aceptar}.
\item La probabilidad del intervalo $P(2\leq X<9)$ es la resta de las probabilidades obtenidas $P(X<9)=P(X\leq 8)$ y $P(X<2)=P(X\leq 1)$.
\end{enumerate}}
\end{indicacion}
\end{enumerate}

\item El número de nacimientos diarios en una determinada población sigue una distribución de Poisson de media 6
nacimientos al día. Se pide:
\begin{enumerate}
\item Generar la distribución de probabilidad de la variable.
\begin{indicacion}{
\begin{enumerate}
\item Seleccionar el menú \menu{Distribuciones\flecha Distribuciones discretas\flecha Distribución de Poisson
\flecha Probabilidades de Poisson}.
\item En el cuadro de diálogo que aparece, introducir el valor 6 en el campo \campo{Media}, y hacer click en el botón
\boton{Aceptar}.
\end{enumerate}}
\end{indicacion}

\item Dibujar la gráfica de la función de probabilidad.
\begin{indicacion}{
\begin{enumerate}
\item Seleccionar el menú \menu{Distribuciones\flecha Distribuciones discretas\flecha Distribución de Poisson \flecha
Gráfica de la distribución de Poisson}.
\item En el cuadro de diálogo que aparece, introducir el valor 6 en el campo \campo{Media}, marcar la opción
\opcion{Gráfica de la función de probabilidad} y hacer click en el botón \boton{Aceptar}.
\end{enumerate}}
\end{indicacion}

\item Dibujar la gráfica de la función de distribución.
\begin{indicacion}{
\begin{enumerate}
\item Seleccionar el menú \menu{Distribuciones\flecha Distribuciones discretas\flecha Distribución de Poisson
\flecha Gráfica de la distribución de Poisson}.
\item En el cuadro de diálogo que aparece, introducir el valor 6 en el campo \campo{Media}, marcar la opción
\opcion{Gráfica de la función de distribución} y hacer click en el botón \boton{Aceptar}.
\end{enumerate}}
\end{indicacion}

\item Calcular la probabilidad de un día no haya nacimientos.
\begin{indicacion}{
Las probabilidades de valores aislados aparecen en la distribución de probabilidad obtenida en el primer apartado.
}
\end{indicacion}

\item Calcular la probabilidad de que un día haya menos de 6 nacimientos.
\begin{indicacion}{
\begin{enumerate}
\item Seleccionar el menú \menu{Distribuciones\flecha Distribuciones discretas\flecha Distribución de Poisson \flecha
Probabilidades de Poisson acumuladas}.
\item En el cuadro de diálogo que aparece, introducir 5 en el campo \campo{Valor(es) de la variable}, 6 en el campo \campo{Media}, marcar
la opción \opcion{Cola izquierda} y hacer click en el botón \boton{Aceptar}.
\end{enumerate}}
\end{indicacion}

\item Calcular la probabilidad de que un día haya 4 o más nacimientos. 
\begin{indicacion}{
\begin{enumerate}
\item Seleccionar el menú \menu{Distribuciones\flecha Distribuciones discretas\flecha Distribución de Poisson \flecha
Probabilidades de Poisson acumuladas}.
\item En el cuadro de diálogo que aparece, introducir 3 en el campo \campo{Valor(es) de la variable}, 6 en el campo \campo{Media}, marcar
la opción \opcion{Cola derecha} y hacer click en el botón \boton{Aceptar}.
\end{enumerate}}
\end{indicacion}

\item Calcular la probabilidad de que un día haya entre 4 y 8 nacimientos, inclusives.
\begin{indicacion}{
\begin{enumerate}
\item Seleccionar el menú \menu{Distribuciones\flecha Distribuciones discretas\flecha Distribución de Poisson
\flecha Probabilidades de Poisson acumuladas}.
\item En el cuadro de diálogo que aparece, introducir los valores 3,8 en el campo \campo{Valor(es) de la variable},
6 en el campo \campo{Media}, marcar la opción \opcion{Cola izquierda} y hacer click en el botón
\boton{Aceptar}.
\item La probabilidad del intervalo $P(4\leq \leq 8)$ es la resta de las probabilidades obtenidas $P(X\leq 8)$ y $P(X<4)=P(X\leq 3)$.
\end{enumerate}}
\end{indicacion}
\end{enumerate}


\item La ley de los casos raros dice que en una distribución Binomial $B(n\,,\,p)$, cuando $n\geq 30$ y $p\leq
0.1$ la distribución se parece mucho a una distribución Poisson $P(np)$. Para comprobar hasta qué punto se
parecen esta distribuciones, se pide:
\begin{enumerate}
\item Generar la distribución de probabilidad de una variable Binomial $B(30\,,0.1)$.
\begin{indicacion}{
\begin{enumerate}
\item Seleccionar el menú \menu{Distribuciones\flecha Distribuciones discretas\flecha Distribución binomial
\flecha Probabilidades binomiales}.
\item En el cuadro de diálogo que aparece, introducir el valor 30 en el campo \campo{Ensayos binomiales},
$0.1$ en el campo \campo{Probabilidad de éxito} y hacer click en el botón \boton{Aceptar}.
\end{enumerate}}
\end{indicacion}

\item Generar la distribución de probabilidad de una variable Poisson $P(3)$ y compararla con la de la binomial
$B(30\,,0.1)$.
\begin{indicacion}{
\begin{enumerate}
\item Seleccionar el menú \menu{Distribuciones\flecha Distribuciones discretas\flecha Distribución de Poisson
\flecha Probabilidades de Poisson}.
\item En el cuadro de diálogo que aparece, introducir el valor 3 en el campo \campo{Media}, y hacer click en el botón
\boton{Aceptar}.
\end{enumerate}}
\end{indicacion}

\item Generar la distribución de probabilidad de una variable Binomial $B(100\,,0.03)$ y compararla con la de la
Poisson $P(3)$. ¿Se parecen más estas distribuciones que las anteriores? 
\begin{indicacion}{
\begin{enumerate}
\item Seleccionar el menú \menu{Distribuciones\flecha Distribuciones discretas\flecha Distribución binomial
\flecha Probabilidades binomiales}.
\item En el cuadro de diálogo que aparece, introducir el valor 100 en el campo \campo{Ensayos binomiales}, $0.03$ en el
campo \campo{Probabilidad de éxito} y hacer click en el botón \boton{Aceptar}.
\end{enumerate}}
\end{indicacion}

\item Dibujar las gráficas de las distribuciones anteriores y ver cuáles se parecen más. ¿Se cumple la ley de los casos
raros?
\begin{indicacion}{
\begin{enumerate}
\item Seleccionar el menú \menu{Distribuciones\flecha Simulaciones\flecha Ley de los casos raros}.
\item En el cuadro de diálogo que aparece, desplazar el deslizador de \opcion{n} hasta 30 y el de \opcion{p} hasta 0.1.
\item Después desplazar el deslizador de \opcion{n} hasta 100 y el de \opcion{p} hasta 0.03.
\end{enumerate}}
\end{indicacion}
\end{enumerate}

\end{enumerate}


\section{Ejercicios propuestos}
\begin{enumerate}[leftmargin=*]
\item Al lanzar 100 veces una moneda, ¿cuál es la probabilidad de obtener entre 40 y 60 caras inclusive?

\item La probabilidad de curación de un paciente al ser sometido a un determinado tratamiento es $0.85$. Calcular la probabilidad de que en un grupo de 6 enfermos sometidos a tratamiento:
\begin{enumerate}
\item Se curen la mitad.
\item Se curen al menos 4.
\end{enumerate}

\item La probabilidad de que al administrar una vacuna dé una determinada reacción es $0.001$. Si se vacunan 2000 personas ¿cuál es la probabilidad de que aparezca alguna reacción adversa?

\item El número medio de llamadas por minuto que llegan a una centralita telefónica es igual a 120. Se pide:
\begin{enumerate}
\item Dar la distribución de probabilidad del número de llamadas en 2 segundos y dibujar su gráfica. 
\item Calcular al probabilidad de que durante 2 segundos lleguen a la centralita menos de 4 llamadas.
\item Calcular la probabilidad de que durante 3 segundos lleguen a la centralita 3 llamadas como mínimo.
\end{enumerate}

\item Se sabe que la probabilidad de que aparezca una bacteria en un mm$^3$ de cierta disolución es de $0.002$.
Si en cada mm$^3$ a los sumo puede aparecer una bacteria, determinar la probabilidad de que en un cm$^3$ haya como
máximo $5$ bacterias.
\end{enumerate}







